LOJ6570 毛毛虫计数 题解

$\text{Description}$

定义毛毛虫为一棵树,且该树上存在一条链,使得所有点到该链的距离不超过 $1$。

求 $n$ 点有标号毛毛虫数,对 $998244353$ 取模。

$1\le n\le 10^5$

$\text{Solution}$

一个毛毛虫上的点分为两类:点度为 $1$ 的点与点度不为 $1$ 的点。

根据定义,我们尝试通过定链来定树,此处我们认为一个毛毛虫的链为由所有点度不为 $1$ 的点组成的链。

对于 $n=1,n=2$ 的情况特判,于是只需考虑 $n\ge 3$ 的情况。

枚举链长,对于长度为 $k$ 的链,先特判掉 $k=1$ 的情况(菊花图),对于 $k>1$,有 $k!/2$ 种情况(翻转后会重叠)。

剩下的 $n-k$ 个点,首先链的两端各自至少要挂一个节点,这里考虑容斥一下,否则可能点度为 $1$,剩下的可以随便挂,列出式子:

当 $n=4,k=2$ 时会出现 $0^0$,此处我们将其当作 $0$ 处理。

时间复杂度 $\mathcal O(n\log n)$。

如果要求 $1\sim n$ 的答案,可以考虑使用生成函数,上式暂时没有办法应用生成函数进行优化。

$\text{Code}$
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#include<bits/stdc++.h>
#define REG register
using namespace std;
const int Mod=998244353,_=499122177,N=1e5;
inline void Add(int& x,int y){(x+=y)>=Mod?x-=Mod:x;}
inline int Pow(int a,int b){int ans=1;while(b){((b&1)&&(ans=1ll*ans*a%Mod)),a=1ll*a*a%Mod,b>>=1;}return ans;}
inline void read(int& x){
static char c;
while(!isdigit(c=getchar()));x=c^48;
while(isdigit(c=getchar()))x=(x*10)+(c^48);
}

int n;

int Fac[N+10],Iac[N+10];
inline void Init(){
Fac[0]=Iac[0]=1;
for(REG int i=1;i<=n;++i) Fac[i]=1ll*Fac[i-1]*i%Mod;
Iac[n]=Pow(Fac[n],Mod-2);
for(REG int i=n-1;i;--i) Iac[i]=1ll*Iac[i+1]*(i+1)%Mod;
}

inline void Work(){
read(n);
if(n==1||n==2) return (void)puts("1");
Init();
int Ans(0);
for(REG int k=2;k<=n-2;++k){
int tmp=Pow(k,n-k);
Add(tmp,Mod-2ll*Pow(k-1,n-k)%Mod),Add(tmp,Pow(k-2,n-k));
tmp=1ll*tmp*Iac[n-k]%Mod;
Add(Ans,tmp);
}
Ans=1ll*Ans*_%Mod*Fac[n]%Mod;
Add(Ans,n);
printf("%d\n",Ans);
}

int main(){Work();}
#
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